Finn (finnskij) wrote,
Finn
finnskij

Вот никогда кнопку репост не нажимал...

... но тут просто не мог удержаться - оригинал взят у posic в Контраприспособленные контрамодули над инд-аффинной инд-нетеровой инд-схемой нильпотентного типа - 2
R-контрамодуль Q называется контраприспособленным, если Hom в него в категории R-контрамодулей переводит точные тройки очень плоских R-контрамодулей в точные тройки (абелевых групп, или R-модулей, или R-контрамодулей -- все равно). Ввиду результатов предыдущего постинга, это эквивалентным образом означает, что Ext1 в Q в категории R-контрамодулей из любого очень плоского R-контрамодуля равен нулю, или что то же самое верно для всех Ext>0.

Лемма 0. Пусть A -- коммутативное кольцо, I ⊂ J -- конечно порожденные нильпотентные идеалы в A. Пусть Q -- такой A-модуль, что A/J-модуль Q/JQ контраприспособлен. Тогда A-модуль IQ контраприспособлен тоже.

Доказательство: на IQ имеется конечная убывающая фильтрация IQ ⊃ JIQ ⊃ J2IQ ⊃ ... ⊃ JNIQ = 0, так что достаточно показать, что A/J-модули JmIQ/Jm+1IQ контраприспособлены для всех m ≥ 0. Но эти модули являются фактормодулями конечных прямых сумм копий A/J-модуля Q/JQ.

Лемма 1. Пусть P -- R-контрамодуль, для которого естественное отображение P → limn P/In#P является изоморфизмом. Тогда если R0-модуль P/I0#P контраприспособлен, то и R-контрамодуль P контраприспособлен.

Доказательство: применяя лемму 0 к кольцу A = Rn с идеалами I = In−1/In и J = I0/In и A-модулю Q = Pn = P/In#P, заключаем, что Rn-модуль (In−1/In)Pn контраприспособлен. Пусть H → G → F -- точная тройка очень плоских R-контрамодулей; положим Fn = F/In#F, и аналогично для G и H. Задание морфизма R-контрамодулей H → P эквивалентно заданию морфизма проективных систем Rn-модулей Hn → Pn. Будем строить по индукции продолжение этого морфизма до морфизма проективных систем Gn → Pn; допустим, морфизм Gn−1 → Pn−1 уже построен. Поскольку ядро морфизма Pn → Pn−1 является контраприспособленным Rn-модулем, композицию Gn → Gn−1 → Pn−1 можно поднять до отображения Gn → Pn. Композиция полученного отображения с вложением Hn → Gn отличается от желаемого отображения Hn → Pn прибавлением отображения из Hn в ядро проекции Pn → Pn−1. Поскольку Rn-модуль Fn очень плоский, последнее отображение можно продолжить с Hn на Gn и прибавить результат к уже имеющемуся отображению Gn → Pn.

Следующая конструкция является ключевой для рассматриваемого подхода.

Лемма 2. Пусть P -- R-контрамодуль, для которого естественное отображение P → limn P/In#P является изоморфизмом. Тогда P можно вложить в контраприспособленный R-контрамодуль Q так, чтобы факторконтрамодуль Q/P был очень плоским.

Доказательство: рассматривая R как абстрактное (нетопологическое) кольцо, а P -- как R-модуль (игнорируя на мгновение контрамодульную структуру), вложим P в контраприспособленный R-модуль K так, чтобы R-фактормодуль F = K/P был очень плоским. Тогда, поскольку R-модуль F, в частности, плоский, имеются точные последовательности Rn-модулей 0 → P/InP → K/InK → F/InF → 0. Вспоминая теперь R-контрамодульную структуру на P, мы имеем также сюръективные отображения Rn-модулей P/InP → P/In#P и индуцированные точные последовательности 0 → P/In#P → K/(InK+In#P) → F/InF → 0.

Переходя к проективным пределам этих морфизмов точных последовательностей, получаем морфизм из точной последовательности 0 → limn P/InP → limn K/InK → limn F/InF → 0 в точную последовательность 0 → limn P/In#P → limn K/(InK+In#P) → limn F/InF → 0. Отображение limn P/InP → limn P/In#P всегда сюръективно, поскольку сюръективно факторизующееся через него отображение P → P/#InP. Следовательно, и отображение limn K/InK → limn K/(InK+In#P) сюръективно тоже.

Положим теперь L = limn K/InK и Q = limn K/(InK+In#P), а также G = limn F/InF. Все три предела являются естественным образом R-контрамодулями. Согласно лемме 0 из предыдущего математического постинга, имеем L/In#L = K/InK и G/In#G = F/InF. Таким образом, R-контрамодуль G очень плоский. Далее, R0-модуль Q/I0#Q является фактормодулем контраприспособленного R0-модуля L/I0#L, и следовательно, тоже контраприспособлен. Остается использовать лемму 1.

Лемма 3. Любой R-контрамодуль можно представить как факторконтрамодуль очень плоского R-контрамодуля по контраприспособленному R-подконтрамодулю.

Доказательство: представить произвольный R-контрамодуль P как факторконтрамодуль свободного R-модуля H (который, в частности, очень плоский), вложить ядро K отображения F → P в контраприспособленный R-контрамодуль Q так, чтобы факторконтрамодуль F = Q/K был очень плоским, рассмотреть индуцированные расширения K → G → P и H → G → F, и использовать лемму 2 из предыдущего математического постинга. Здесь существенно, что отображение K → limn K/In#K является изоморфизмом, поскольку отображение H → limn H/In#H таковым является. (Это стандартное рассуждение по типу того, что Eklof-Trlifaj приписывают Salce.)

Лемма 4. Любой R-контрамодуль можно вложить в контраприспособленный R-контрамодуль так, чтобы факторконтрамодуль был очень плоским.

Доказательство: представить произвольный R-контрамодуль P в виде факторконтрамодуля очень плоского R-контрамодуля G по контраприспособленному R-контрамодулю K, вложить R-контрамодуль G (удовлетворяющий условию леммы 2) в контраприспособленный R-контрамодуль L так, чтобы факторконтрамодуль F = L/G был очень плоским, и обозначить через N коядро композиции инъективных морфизмов R-контрамодулей K → G → L. Тогда R-контрамодуль N контраприспособлен, поскольку класс контраприспособленных R-контрамодулей замкнут относительно коядер вложений (как прямо следует из одного из определений в начале постинга), и даже вообще относительно перехода к факторконтрамодулям (как можно заключить из следствия в конце предыдущего математического постинга). При этом R-контрамодуль P вкладывается в N с коядром F. (Это рассуждение по типу тех, что используются в книжке Semimodules для построения резольвент.)

Следствие. R-контрамодуль контраприспособлен тогда и только тогда, когда он является контраприспособленным R-модулем.

Доказательство: ввиду конструкций выше, всякий контраприспособленный R-контрамодуль можно получить из R-контрамодулей вида K = limn K/InK, где K пробегает контраприспособленные R-модули, с помощью операций перехода к коядру вложения и прямому слагаемому. Класс контраприспособленных R-модулей замнут относительно этих операций, и R-модули описанного явного вида контраприспособлены ввиду рассуждений из раздела B.10 в 1202.2697v3 и начала раздела C.3 в 1209.2995v3 (ср. с доказательством леммы 1 выше). Таким образом, все контраприспособленные R-контрамодули являются одновременно контраприспособленными R-модулями.

Обратно, пусть R-контрамодуль P является контраприспособленным R-модулем. Представим P в виде факторконтрамодуля плоского R-контрамодуля F по контраприспособленному R-подконтрамодулю Q. По доказанному, Q является тогда контраприспособленным R-модулем, а следовательно, таковым является и F. Теперь R0-модуль F/I0#F контраприспособлен как фактормодуль контраприспособленного R-модуля, откуда R-контрамодуль F контраприспособлен по лемме 1 (первому условию которой он удовлетворяет, поскольку он плоский). Теперь R-контрамодуль P контраприспособлен как коядро вложения контраприспособленных R-контрамодулей Q → F.


Это не сирию-ливию-дтп-сосиски нетленку гнать :)
Tags: прелестные ссылки
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic
  • 5 comments